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Zeta Function

제타함수를 처음 연구한 수학자는 오일러(Euler)다. 그 연구를 이어 받아 정의역을 복소수 영역까지 확장하고, 소수(Prime Number)의 연구까지 진행한 인물이 바로 리만(Riemann) 이다. 최고의 수학자들이 무슨 생각을 했는지 한번 알아보자.

제타 함수의 정의

제타함수의 정의는 간단하다. 고등학교에서 배운 무한급수를 다시 보는 것 같다.

\begin{align}\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots\end{align}

\(s\) 에 따라 값이 달라진다. \(s\) 가 1보다 크거나 같으면 수렴할 것 같은데, 임의의 \(s\) 에 대해 그 값을 계산하기가 쉽지는 않다. 아래 그래프는 몇가지 \(s\) 값에 따른 \(k\) 번째 항까지 합한 값을 나타낸 것이다. \(k\) 가 증가함에 따라 점차 커지기는 하는데, 수렴할 것 같기도 하다.

그래도 계산을 해보자. 아래의 그래프는 \(s=1\) 일 때의 제타함수(파란색)과 \(1/x\) 를 1부터 10까지(빨간색) 그린 것이다.

다음의 수식이 성립함을 직관적으로 알 수 있다. 제타함수에서 \(k = 1 \sim N\) 까지의 부분합과 적분과의 관계이다.

\begin{align}\int_{1}^{N} \frac{dx}{x^s} \leq \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^s} \leq 1 + \int_{1}^{N} \frac{dx}{x^s}\end{align}

다항식의 적분은 쉽게 가능하기 때문에 다음과 같이 전개가 가능하다.

\begin{align}\int_{1}^{N} \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}\left ( 1 - \frac{1}{N^{s-1}} \right )\end{align}

s > 1일 때

\(N^{s-1} > 1\) 이므로 아래와 같이 수렴한다는 것을 알 수 있다.

\begin{align}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} \leq 1 + \frac{1}{s-1}\end{align}

s < 1일 때

발산한다는 것은

\begin{align}\frac{1}{ N^{s-1} } = N^{1-s}\end{align}

로 이 값이 \(N \to \infty\) 일 때 발산하는 사실로 부터 쉽게 유추가 가능하다.

s = 1일 때

위의 수식을 통해 발산한다는 것도 쉽게 알 수 있을 것 같지만 증명해보자.

위의 식(3)는 \(s = 1\) 때는 쓸 수가 없고, 아래와 같은 적분 공식을 활용할 수 있다.

\begin{align}\int_{1}^{N} \frac{dx}{x} = \ln{N}\end{align}

따라서,

\begin{align}\zeta(1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots =\infty\end{align}

이기 때문이다.

발산하는 \(s\) 를 함수의 정의역에서 제외하면, 제타함수는 \(s > 1\) 인 정의역에서만 정의된다.

바젤 문제

\(s > 1\) 일 때 수렴하는 것을 알았지만, 그 값을 구하는 것은 또 다른 어려운 문제이다. \(s = 2\) 일 때는 바젤(Basel) 문제라고 불리는데, 오일러가 \(\frac{\pi^2}{6}\) 라고 계산(\(1.64493406685\cdots\))하였다. 신기하게도 결과에 파이값이 나타난다.

어떻게 구했을까?

\begin{align}\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots\end{align}

사인 함수의 변형 1

바이어슈트라스 곱의 정리(Weierstrass product theorem)에 따르면 사인함수는 다음과 같다고 한다.

\begin{align}\sin(x) = x\prod_{k=1}^{\infty} \left ( {1-\frac{x^2}{(\pi k)^2}} \right )\end{align}

뜬금없이 사인함수를 이야기 하는지는 나중에 알게되겠지만, 우선 위의 수식을 이해 해보자. \(\sin(x) = 0\) 의 근은 다음과 같다.

\begin{align}x = 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \cdots\end{align}

위의 근들을 가지는 방정식중 하나로 아래와 같은 식을 생각해 볼 수 있다.

\begin{align}x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi) \cdots = 0\end{align}

조금 간단히 정리해보면,

\begin{align}x(x^2-\pi^2)(x^2-4\pi^2)(x^2-9\pi^2) \cdots = 0\end{align}

그런데 위의 식은 x가 0에 가까이 갈 때 \(\sin(x) = x\) 인 것을 만족하지 않기 때문에, 극한의 상황을 만족하기 위해서 위 수식을 아래와 같이 변경하면 \(\sin x\) 함수의 근사 함수로 볼 수 있다.

\begin{align}\sin(x) \sim x\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{(2\pi)^2}\right)\cdots\end{align}

바이어슈트라스 곱의 정리는 수학적으로 엄밀하게 증명된 것이지만, 위의 방식으로 나름 이해하기 쉽게 유도할 수 있다. k가 10일 때까지 사인함수와 위의 값을 비교한 그래프가 아래와 같다. 얼추 비슷하고, \(k \to \infty\) 일 때는 같아질 것 같다.

사인함수의 변형 2

그리고 사인함수를 다항식으로 표현하는 방법은 테일러 급수로 전개하는 방법이 또 있다.

\begin{align}\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\end{align}

사인함수 변형끼리의 비교

바이어슈트라스 곱의 정리에 따른 사인함수를 전개하여 같은 차수끼리 재정리하면,

\begin{align}\sin(x) = x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{(\pi k)^2} x^3 + \cdots\end{align}

위의 수식과 테일러 급수로 전개한 식을 비교하자. x의 세제곱 항의 계수는 서로 같아야 한다.

\begin{align}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{(\pi k)^2}= -\frac{1}{3!}\end{align}

따라서 최종적으로,

\begin{align}\red{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}= \frac{\pi^2}{6} = \zeta(2)}\end{align}

제타함수와 소수

오일러에 의해 제타함수와 소수의 관계에 관한 식이 유도가 되었다. 오일러는 이 수식을 가지고 이리 저리 변형해 보다가 놀라운 사실을 발견하게 된다.

\begin{align}\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots\end{align}

위 수식을 \(2^s\) 로 나눠보자.

\begin{align}\frac{\zeta(s)}{2^s} = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots\end{align}

그리고 원래 수식(18)에 이 수식(19)을 빼서 정리하면 아래와 같이 우변의 2의 배수가 되는 항은 모두 사라진다.

\begin{align}\left (1 - \frac{1}{2^s} \right )\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots\end{align}

이 수식에 이번에 \(3^s\) 로 나눈 후 빼면, 우변에서 3의 배수가 되는 항이 모두 사라진다.

\begin{align}\left (1 - \frac{1}{2^s} \right )\left (1 - \frac{1}{3^s} \right )\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots\end{align}

이렇게 계속해서 소수의 \(s\) 거듭제곱을 나누어 빼기를 무한히 반복하면 오른쪽은 1만 남게 된다. 따라서 다음과 같은 등식을 만족한다. 여기서 \(p\) 는 소수임.

\begin{align}\zeta(s) \prod_{p}^{\infty} {\left (1 - \frac{1}{p^s} \right )} = 1\end{align}

따라서,

\begin{align}\zeta(s) &= \frac{1} {\prod_{p}^{\infty} {\left (1 - \frac{1}{p^s} \right )}} \\ & = \prod_{p}^{\infty} \frac{1}{1-p^{-s}}\end{align}

\(s = 2\) 를 넣어 계산하면,

\begin{align}\red{\prod_{p}^{\infty} \frac{1}{1-p^{-2}} = \frac{\pi^2}{6}}\end{align}

최종적으로,

\begin{align}\frac{\pi^2}{6} &= \prod_{p}^{\infty} \frac{p^2}{p^2-1} \\ &=\frac{2^2}{2^2-1} \times \frac{3^2}{3^2-1} \times \frac{5^2}{5^2-1} \cdots\end{align}

위의 수식(오일러 곱셈 공식, Euler Product Formula)으로 부터 제타함수를 제대로 파악할 수 있으면 소수의 규칙도 알 수 있을 것 같다. 리만은 오일러의 연구를 이어 받아 무슨 연구를 데 해 나갔을까?

제타함수의 확장

지금까지는 제타함수는 \(s > 1\) 인 실수 구간에서만 정의가 되었다. 해석적 확장(Analytic Continuation)이라고 불리는 작업을 통해 \(s = 1\) 아닌 모든 복소수에 대해서 정의되는 함수로 확장해 보자. 지수함수와 삼각함수의 정의역을 실수에서 복소수로 확장하는 것과 개념적으로는 유사하다.

\begin{align}\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} {\frac{1}{e^t-1} t^{s-1}dt}\end{align}

여기서 \(\Gamma(s)\) 는 감마함수로 아래와 같이 정의된다.

\begin{align}\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} {e^{-t} t^{s-1}}dt\end{align}

해석적 확장된 제타함수에 대한 상세한 사항은 위키피디아를 참고하시길. 이해가 쉽지는 않다. 이 함수를 제대로 파악하면 소수의 개수와의 관계도 구할 수 있다고 하는데, 아직 이해를 못해서 이 글은 여기서 끝맺는다.

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