Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18

Linear Transformation

선형 변환은 여러 분야에서 많이 사용되는 개념으로 꼭 이해가 필요하다. 선형(Linearity), 함수(Function), 스칼라(Scalar), 벡터(Vector), 행렬(Matrix) 등에 대한 기본적인 지식에서 시작하여, 고유값(Eigen Value), 고유벡터(Eigen Vector)까지 알아 보자.

스칼라와 벡터 (Scalar, Vector)

선형대수학(Linear Algebra)에 대해 자세히 설명한 사이트(예를 들어 위키백과)는 많다. 여기서는 향후 Physics 설명시 필요한 내용 위주로 정리하고자 하는 것을 목적으로 한다.

본 사이트에 허수에 대해 정리한 부분이 있다. 그리고 수의 기하학적 의미를 살펴보았다. 이해의 편의를 위해 실수만으로 수를 한정하자.

실수는 수를 크기의 순서대로 수직선(Number Line) 상에 나타낼 수 있다. 크기만 알면 그 수가 수직선상에 어디에 위치할 지 알 수 있다. 숫자 하나 하나를 가지고 어떤 일(계산 등)을 할 때, 그 숫자 크기만 중요하므로 그것을 스칼라(Scalar)라고 한다. 아래와 같은 더하기, 빼기, 곱하기 등을 스칼라 연산이라고 한다. 이런 값들을 변수로 표현할 때 \(x, y, z, a, b\) 등등의 문자로 나타낸다.

\begin{align}2.3 + 3\times(3 - 5) = 2.3 - 6 = -3.7\end{align}

그런데, 수평면(Number Plane)상의 점(위치)를 이용하여 일을 하고 싶을 때가 있다. 수평(x축) 및 수직(y축)의 각각 위치값을 가지고 스칼라 연산을 통해 원하는 계산을 할 수 있지만, 그 쌍(x와 y값의 조합)을 가지고 한번에 연산을 하면 편할 때가 있다.

그 수의 묶음을 벡터(Vector)라고 하고, Scalar와 구별하기 위해 두꺼운 문자(Bold체) 또는 위 또는 아래에 화살표(\(\rarr\)) 또는 틸드(~)표시를 한다.

가장 이해하기 쉬운 2차원 벡터 \((x,y)\) 는 수평면 상의 한 점을 의미하고, 수의 기하학적 의미에서 이야기 하였듯이 크기(\(r\))와 각도(\(\theta\))을 가지는 것을 알 수 있다. 그리고 3차원 벡터 \((x,y,z)\) 는 공간상의 한 점이다. 4차원 이상은 상상은 잘 안되지만, 유추할 수는 있을 것이다.

선형성 (Linearity)

이제부터 벡터를 가지고 이야기 하자. 참고로 스칼라는 1차원 벡터로 생각할 수 있다. 벡터 \(\mathbf{a}\) 를 \(\mathbf{b}\) 로 바꾸는 변환(연산)을 \(L\) 이라고 할 때, 다음 2가지를 만족시키면 선형 변환이라고 한다. (\(c\) 는 scalar)

\begin{align}L(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = L(\mathbf{a}) + L(\mathbf{b})\end{align}

\begin{align}L(c\mathbf{a}) = cL(\mathbf{a})\end{align}

예를 들어, 아래의 수식(함수)은 선형성을 가진다라고 말할 수 있다. \(n\) 차원의 \(x\) 벡터에서 1차원의 \(y\) 벡터(스칼라)로의 선형 변환으로 상기 2가지 조건을 만족하기 때문이다.

\begin{align}y= a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \cdots + a_n \cdot x_n\end{align}

여기서 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 은 상수이다.

따라서 선형 변환은 함수의 특별한 형태로 생각할 수 있다. 그렇다면 왜 선형변환만 따로 배우나? 여러가지 문제에 쓸모가 많기 때문이다.

행렬 (Matrix)

여기서는 개념 파악을 주 목적으로 하므로, 이해하기 쉽게 2차원 벡터들 간의 선형변환을 생각해 보자. \(\mathbf{x} = (x_1, x_2)\) 에서 \(\mathbf{y} = (y_1, y_2)\) 로의 변환이 선형이면, 하기 2개의 수식으로 나타낼 수 있다.

\begin{align}y_1 = a x_1 + b x_2\end{align}

\begin{align}y_2 = c x_1 + d x_2\end{align}

상기 두 개의 수식을 다음과 같이 한 개의 수식으로 축약하여 나타낼 수 있다.

\begin{align}\binom{y_1}{y_2} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \binom{x_1}{x_2}\end{align}

괄호안에 \(a, b, c, d\) 로 나타내는 것을 행렬이라고 한다. 계산법은 위의 두 수식을 보면 어느 정도 유추할 수 있을 것이다. 상기 수식의 오른쪽 첫번째 괄호를 2x2 정사각행렬이라고 하고 일반적으로 대문자의 Bold체로 나타낸다. 즉 상기 벡터와 행렬로 이뤄진 수식은 다음과 같이 심플하게 쓸 수 있다.

\begin{align}\mathbf{y} = \mathbf{A} \mathbf{x}\end{align}

여기까지는 고등학교에서 배운 것이고, 이제 행렬의 기하학적 의미를 생각해 보자.

행렬식 (Determinant)

앞서의 2x2 정사각행렬의 행렬식은 \(det(\mathbf{A}) = \left | \mathbf{A} \right | = ad - bc\) 이라고 배웠을 것이고, 주로 역행렬을 구할 때 사용했을 것이다.

4개의 점 \((0,0), (1,0), (1,1), (0,1)\) 으로 이뤄진 사이즈가 1일 정사각형(위 그림의 파란색 박스)을 생각해보자. 이 4개의 점을 상기 행렬을 이용하여 변환하면, 위 그림의 초록색 사각형의 형태로 변환된다. 이 사각형의 넓이는 \(ad-bc\) 가 된다. (그림에서는 \(a=3, b=2, c=1, d=2\) 인 상황을 보여준다.)

보조선(주황색)을 그려서 평행사변형의 절반의 면적(빨간색 삼각형)을 구해서 각자 증명해 보시기 바랍니다.

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결론적으로 행렬식(Determinant)는 선형 변환 전후의 비율이라고 할 수 있다. 1차원이면 크기, 2차원이면 면적, 3차원이면 부피, 4차원?...

선형 변환의 역변환을 행렬로 나타낼 수 있는데, 역행렬이라고 부른다. 역행렬 계산에 원래 행렬의 행렬식으로 나누는 부분이 있는 이유도 상기 의미로 유추할 수 있다.

고유값 및 고유벡터 (Eigen Value, Eigen Vector)

선형변환 \(\mathbf{A}\) (정사각 행렬)에 의해 변환 결과가 자기 자신의 상수배가 되는 \(\mathbf{0}\) 이 아닌 벡터를 고유벡터라고 하고, 그 상수배를 고유값(\(\lambda\))이라고 한다. 이 간단한(?) 수학적 정의를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

\begin{align}\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\end{align}

임의의 \(n \times n\) 행렬에 대해 정의가 가능하지만, \(2\times2\) 행렬 및 2차원 벡터로 나타내 보면 좀 더 의미가 다가올 수 있다.

\begin{align}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \binom{v_1}{v_2} = \lambda \binom{v_1}{v_2}\end{align}

수식을 약간 변형해 보면,

\begin{align}\begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d -\lambda \end{pmatrix} \binom{v_1}{v_2} = \binom{0}{0}\end{align}

어떤 벡터의 선형 변환을 해서 0이 나오려면 행렬식이 0이어야 한다. (앞서 설명한 행렬식의 기하학적 의미 참고) 따라서 하기와 같은 \(\lambda\) 에 대한 2차 방정식이 나온다.

\begin{align}(a - \lambda) \times (d -\lambda) - bc = 0\end{align}

정리하면,

\begin{align}{\lambda}^2 -(a+d)\lambda + (ad - bc) = 0\end{align}

상기 수식을 만족하는 \(\lambda\) 가 고유값이고, 이 값을 하나씩 넣고 상기의 행렬 수식에 넣어 \(\mathbf{v}\) 들을 구할 수 있다. 상기 수식에서 만족하는 근은 2개의 실근, 중근, 2개의 허근이 나올 수 있다. 실수 고유값이 아니면 다음에 살펴볼 기하학적의 의미를 파악하기 어렵다.

기하학적 의미

앞서 언급했지만, 실수 고유값 및 그에 해당하는 고유벡터에 대해서만 생각해 보자. 사실 고유값을 구하는 것은 수학적으로 간단하다. 시험 문제에 나와도 쉽게 풀 수 있다. 하지만 그 기하학적 의미는 쉽게 다가오지 않는다.

이해하기 쉽게 2차원을 생각하자. 선형변환에 의해 그 변환의 결과가 자기 자신의 상수배가 되는 벡터는 선형변환에 의해 방향이 바뀌지 않는 벡터이다. 180도로 바뀔 수는 있다.

우선 일반적으로 생각할 수 있는 2차원 선형변환에 대해 생각해 보자. (하기 테이블에서 고유벡터는 크기(Norm)을 1로 Normalize함)

여기서는 다루지 않겠지만, 임의의 선형 변환(Transformation)은 Translation(위치이동), Scaling(확대 또는 축소), Rotation(회전)의 결합으로 나타낼 수 있다.

아래에 이것 저것 2차 선형변환 값을 넣고 "Submit"를 눌러보면 기하학적 의미를 이해할 수 있을 것이다. 고유값이 허수를 포함한 복소수인 경우는 2차 수평면 상에 나타내기 어려워 여기서는 제외하였으나 위의 테이블에서 보면 알 수 있듯이 극좌표계(\(r,\theta\))로 나타냈을 때의 \(r\) 만큼의 Scale 변환과 \(\theta\) 만큼의 회전변환(Rotation)을 의미한다.

선형 변환 테스트

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