Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18

Imaginary Numbers

허수는 虛數(빌 허, 셀 수)라고 쓰지만, 영어로는 Imaginary Number이다. 상상(想象)의 수. 상상은 실제로 존재하지 않는 것을 머리속으로 생각하는 것이다. 보지 못한 코끼리를 뼈조각 만으로 생각하는 것... 그런데 코끼리를 상상한다는 것이 코끼리 그림을 떠올리는 것뿐일까? 내가 코끼리라면 어떨까? 코끼리는 뭘 먹고, 어떻게 움직이고, 살아가는 것일까? 이 모든 것을 포함해야 코끼리를 상상할 수 있다로 할 수 있을 것이다. 허수를 상상해 보자.

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문제를 발견하고 해결나가는 과정이 수학이다.

수에 대하여

허수를 이해하기 위해서는 수에 대해 먼저 이해해야 한다. 자연에 있는 사물을 세는 수가 자연수(Natural Number, 自然數)이다. \(1, 2, 3, \cdots\) 자연수는 더하기(+)를 할 수 있다. 생후 몇개월만 되어도 \(1+1\) 의 의미를 안다고 한다.

빼기(-)는 더하기의 반대이다. 그런데 여기서 문제가 발생한다. 많은 것에서 적은 것은 뺄 수 있는데, 적은 것에서 많을 것을 빼는 것은? 그래서 영(0)과 음수가 필요하다. 이것을 다합쳐서 정수(Integer, 整數) 라고 한다. 양의 정수(자연수), 영, 음의 정수.

곱하기(\(\times\))는 같은 것을 여러번 더하는 것을 의미한다. \(2 \times 5\) 는 2를 다섯번 더하는 것이다. 나누기(/)는 곱하기의 반대이다. 여기에는 두 가지 문제가 발생한다.

첫번째, 4를 2로 나누는 것은 2를 곱해서 4가 되는 것이 무엇이냐 또는 4개를 2명에게 나눠 주면 한명당 몇개를 가지게 되냐라서 쉽게 계산할 수 있는데, 3을 2로 나누면 정수로는 표현할 수 없다. 따라서 이것을 분수 \(3/2\) 로 나타내고, 소수(小數)로 1.5와 같이 나타낼 수 있다. 정수를 확장하여 정수 비(\(a/b\))로 나타낼 수 있는 수를 유리수(Rational Number, 有理數)라고 한다.

두번째 문제는 0으로 나누는 것이다. 1을 0으로 나누면 얼마인가? 이것은 수학적으로 정의되지 않았다. 그래서 컴퓨터 프로그래밍에서는 NaN (Not A Number)라는 기호로 나타낸다.

실수 (Real Number, 實數)

수를 다루다 보니 필요가 생겨서 계속 수를 확장해 왔다. 여기서 끝일까? 학교에서 배웠겠지만, 피타고라스 정리라는 것이 있다. 직각 삼각형의 세변의 길이에 대한 정리로, 직각변 길이의 제곱의 합과 빗변의 제곱이 같다는 것이다.

\begin{align}a^2 + b^2 = c^2\end{align}

\(a = b = 1\) 이면 c는 제곱해서 2가 되는 수이다. 당연히 이 수는 삼각형의 한변의 길이 이니까, 실제로 존재하는 수이다. 크기는 2보다는 작을 것이고, 1보다는 클 것이다. 이 수를 \(\sqrt{2}\) 로 나타내는데, 이것을 정수의 비로 표현하려는 시도를 했으나, 근사는 가능하지만 정수의 비로 나타낼 수가 없었다.

유리수가 아닌 수를 무리수(Irrational Number, 無理數)라고 하고, 이 둘을 합쳐서 실수라고 한다. 여기서 끝인가? 여기까지는 중학교 수학에서 배우는 것이다.

참고로 \(\sqrt{2}\) 가 정수비로 나타낼 수 없다는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다.

유리수가 아님을 증명하기

먼저 \(\sqrt{2}\) 가 유리수라고 가정하자. 유리수는 정수의 비로 나타낼 수 있다고 하였다. 따라서

\begin{align}\sqrt{2} = m/n\end{align}

이고, \(m\) 과 \(n\) 는 서로 공약수를 가지지 않는다. 공약수를 가지고 있다면 서로 약분하여 공약수를 가지지 않는 두개의 수로 나타낼 수 있다. 이제 상기 사항이 모순임을 보일 것이다. 그게 모순이면 처음 가정인 가 유리수라는 것이 잘못된 것이니, 유리수가 아닌 것이다.

양변을 제곱을 해보자.

\begin{align}2 = m^2/n^2\end{align}

이고,

\begin{align}2n^2 = m^2\end{align}

위 식에 따르면 \(m^2\) 은 짝수이다. 이 짝수이면 \(m\) 도 짝수 이다. 짝수의 제곱은 항상 짝수이고, 홀수의 제곱은 항상 홀수이기 때문이다. (홀수는 \(2k+1\) 로 나타낼 수 있기 때문에, 제곱하면 이므로 홀수임.)

\(m\) 이 짝수이니까 \(2k\) 로 나타내서 위의 수식에 넣으면 동일한 논리로 \(n\) 도 짝수임을 알 수 있다. \(m\) 도 짝수이고 \(n\) 도 짝수이면 공약수가 2가 있으니 \(m\) 과 \(n\) 이 서로 공약수를 가지지 않는다는 것과 모순이 된다.

유사하게 3, 5, ... 등의 제곱근 또는 세제곱 등이 유리수가 아님을 증명할 수 있다. 그런데 \(\pi\) 가 유리수가 아닌 것은 어떻게 증명할까?

허수의 발견 또는 필요성

방정식이라는 것이 있다. 숫자 계산을 할 때, 계산하여 구하고자 하는 값을 미지수(x, y,...)로 놓고 풀어나가는 것이다. 예를 들어 자신을 세제곱해서 2을 더한 것이 자신을 3배한 값과 같은 수는? 방정식으로 나타내 보면 \(x^3 + 2 = 3x\) 이다. 이 수식은 3차 방정식이라고 부르고, 2차 방정식과 3차 방정식은 근의 공식이 있다.

이차방정식의 해

이차방정식을 일반적으로 나타내 보면

\begin{align}ax^2 + bx + c = 0\end{align}

으로 나타낼 수 있고, 그 해는 다음과 같다.

\begin{align}x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\end{align}

이를 이차방정식의 근의 공식이라고 한다. 여기서 \(d = b^2 - 4ac\) 를 판별식(Discriminant)이라고 하고, 이 값이 양수이면 2개의 해, 0이면 1개의 해가 존재한다.

하지만 음수이면, 제곱해서 음수가 되는 수는? 영을 제외한 모든 실수는 제곱하면 양수이므로, 제곱해서 음수가 되는 수는 없다. 따라서 판별식이이 음수이면 해가 없다고 생각하면 된다. 맘편하다.

삼차방정식의 해

그런데, 3차 방정식에도 근의 공식이 있다. 좀 단순한 3차 방정식의 형태에 대해 생각해 보자.

\begin{align}x^3 = bx + c\end{align}

참고로, 일반적인 3차 방정식은 이 형태의 방정식으로 모두 변환할 수 있다. 이 수식에 대한 근의 공식은 카르타노의 해법 또는 달 페로의 공식이라고 알려져 있다.

\begin{align}x=\sqrt[3]{\frac{c}{2} + \sqrt{\frac{c^2}{4}- \frac{b^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{c}{2} - \sqrt{\frac{c^2}{4}- \frac{b^3}{27}}}\end{align}

위의 수식에서 \(d = \frac{c^2}{4} - \frac{b^3}{27}\) 를 판별식이라고 할 수 있다. \(d\) 가 양수이면 단 1개의 실수해를 가진다. \(d\) 가 음수이거나 영이면?

봄벨리의 고민

16세기 중반 이탈리아의 라파엘 봄벨리라는 수학자가 이 문제를 고민했었다. 그는 20년 동안 심혈을 기울여서 "대수학(Algebra)"이라는 명저를 저술하였다. 쉬운 문제를 생각해 보자.

\begin{align}x^3 = 3x - 2\end{align}

판별식 \(d=0\) 이고, 근의 공식을 이용하면 \(x =\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1}\) 이다. 근의 공식으로 구한 이상한 수식을 잘 음미해보면 세제곱해서 -1이 되는 수는 -1이니, \(x=-2\) 인 것은 알 수 있다. 그런데 위의 방정식의 해는 \(x=1\) 도 해가 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 어떻게 받아들여야 하나? 근의 공식에 오류가 있는 것인가? 이게 봄벨리의 고민이었다.

세제곱해서 -1인 수가 -1만이 아니라 또 있다는 의미인가? 제곱해서 1이되는 수는 -1, 1로 두개이다. 세제곱해서 1이되는 수는 1로 한개이다 (실수 내에서는). 뭔가 새로운 개념 또는 수가 필요하다. 이차 방정식의 판별식이 음수일 때처럼 무시하려고 했는데... 그게 아닌것 같다.

새로운 수

이후 수학자들이 새로운 수 \(i = \sqrt{-1}\) 를 정의하고 이를 현실에는 존재하지 않는 수라고 하여 가상의 수라고 하였다. 하지만 이 수는 쉽게 상상이 가지 않는다. 이해가 되지 않는다. \(i\) 가 무엇인가? 임의의 실수에 \(i\) 를 더하거나 \(i\) 배를 하는 것은 무엇을 의미하는가? 즉 \(a + bi\) 는 뭐라고 해석해야 하나? 기존의 수체계인 실수와의 조합에서 모순이 없는 것인가? 당연히 없었으니 우리가 수업시간에 배우고 쓰겠지만, 처음에 이 고민을 했던 수학자들은 어땠을까? 어쨌든 실수와 허수를 합쳐서 복소수(Complex Number, 複素數)라고 한다.

고등학교에서 허수를 배우고 관련한 여러가지 공식들을 외우고, 대학교에서 복소수를 이용하여 많은 공학 문제를 푸는 법을 배웠지만, 그 근원에 대해 제대로 이해하지 못한 것 같다. 최근에 우연히 "허수"에 대한 책(부제: 시인의 마음으로 들여다본 수학적 상상의 세계, 지은이: 배리 마주르)을 읽고 조금이나마 허수에 대한 이해의 폭을 넓힐 수 있었고, 그런 사실을 알아간다는데 즐거움을 느꼈다. 다음 글(수의 기하학적 의미)에서 내가 이해한 수준에서 허수를 설명해보고자 한다.

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